t 检验计算器
单样本 / 独立两样本（默认 Welch，可切 Student）/ 配对 t 检验，输出 t 值、自由度、双侧 p 值、Cohen's d 与 95% 均值差置信区间
在线 t 检验计算器：单样本 t 检验（t = (x̄−μ₀)/(s/√n)）、独立两样本 t 检验（默认 Welch 不等方差校正， Satterthwaite 自由度；可切换 Student 合并方差）与配对 t 检验（差值 d̄/(sd/√n)）。 数据支持逗号 / 空格 / 换行宽容解析，输出两组均值与方差对比、方差比提示、t 值、自由度、双侧 p 值 （t 分布 CDF 基于不完全贝塔 I_x(df/2, 1/2)，Lentz 连分式，双精度）、Cohen's d 效应量 （独立用合并 sd 口径、配对用 d_z）与 95% 均值差置信区间，附显著性徽章（p<0.05 / <0.01 / <0.001）。 经典锚点（Cushny-Peebles 睡眠数据 t=−4.0621、p=0.00283）精确复现。全部计算在浏览器本地完成，不上传任何数据。
p 值显著 ≠ 效应大：n 很大时微小的均值差也会 p<0.05。 报告时同时给出效应量 Cohen's d（0.2 小 / 0.5 中 / 0.8 大）与置信区间，别只甩一个 p 值。
单样本结果
p < 0.05（* 显著）t 值
3.1853
自由度 df
5.00
双侧 p 值
0.02439
效应量 Cohen's d
1.3004
单样本：t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (51.6667 − 50.0000)/0.5232；s = 1.2817，df = n−1 = 5
均值差（点估计）
1.6667
x̄ − μ₀
均值差的 95% 置信区间
[ 0.3216, 3.0117 ]
均值差 ± t(0.975, df) × SE，区间整体在 0 以上
三种 t 检验怎么选
单样本 t
一组数据 vs 已知基准（标准值、行业阈值、历史均值）。
独立两样本 t
两组不同对象（A/B 实验、对照组 vs 处理组），组间互相独立。默认 Welch。
配对 t
同一对象测两次（前后测、左右对照），个体内差异消掉了个体间变异，通常比当独立两组更灵敏。
Cohen's d 怎么读
d = 均值差 / 合并标准差，是「差了零点几个标准差」：0.2 小、0.5 中、0.8 大（Cohen 惯例）。 配对设计常用 d_z = d̄ / sd(差值)，同一数据下 d_z 通常大于组间 d，两者不可直接比较。 t 与 d 可以互推：独立等样本时 d = 2t/√df。
#t 检验公式、FAQ 与参考
t 检验计算器说明
t 检验用 t 统计量检验「均值是否等于某值 / 两组均值是否相等」。t 分布 CDF 通过不完全贝塔函数 I_x(df/2, 1/2)（Lentz 连分式）计算：P(|T| ≥ |t|) = I_{df/(df+t²)}(df/2, 1/2)，双精度复现 R 的 t.test 输出（Cushny-Peebles 睡眠配对数据 t = −4.0621、p = 0.00283）。本页支持单样本、 独立两样本（Welch / Student）与配对三种模式，全部在浏览器本地计算。
什么时候用哪种 t 检验（对照表）
| 设计 | 公式 | 自由度 | 典型场景 |
|---|---|---|---|
| 单样本 | t=(x̄−μ₀)/(s/√n) | n−1 | 与基准值/标准值比较 |
| 独立两样本（Welch） | t=(x̄₁−x̄₂)/√(s₁²/n₁+s₂²/n₂) | Satterthwaite（可为小数） | 两组独立对象，默认推荐 |
| 独立两样本（Student） | t=(x̄₁−x̄₂)/(sp·√(1/n₁+1/n₂)) | n₁+n₂−2 | 方差确证相等且需要经典口径 |
| 配对 | t=d̄/(sd/√n) | 对数−1 | 前后测、同体双测量 |
常见问题 (FAQ)
Welch 和 Student 怎么选？
拿不准就 Welch：它在方差相等时几乎不损失功效，方差不等时显著更稳健，R 与主流统计软件已把 Welch 设为默认。Student 只在「两组总体方差确实相等」这个强假定下才精确，通常仅用于复现经典教材结果。
方差比多大算「差异大」？
本页在两组样本方差比超过 2 时给出非正式提示。这是经验提示而非正式检验（正式的 F 比率检验或 Levene/Brown-Forsythe 检验对正态性与样本量更敏感）。看到提示时优先用 Welch——这也是本页默认。
t 值多大才算显著？
取决于自由度：df 越小，|t| 需要越大。双侧 0.05 的临界值在 df=5 时是 2.5706，df=24 时是 2.0639，df→∞ 时收敛到 1.95996（正态 z）。直接看 p 值更方便，本页已按不完全贝塔精确计算。
p = 0.049 和 p = 0.051 有本质区别吗？
没有。0.05 是约定阈值不是物理边界，两者证据强度几乎相同。更好的做法是报告精确 p 值、效应量与置信区间，让读者看到量级而非二值结论。
配对检验的 t 符号为什么和论文相反？
符号取决于差值方向。本页取 d = 第一组 − 第二组（与 R 的 t.test(x, y, paired=TRUE) 同向）；论文若按「后 − 前」定义差值，符号相反但 |t| 与 p 值完全一致。双侧检验中方向不重要。
计算数据会上传吗？
不会。数据解析、t 统计量、p 值与效应量全部在你的浏览器本地计算，不发送任何网络请求，输入数据不被存储或上传。
参考来源
- Student (W. S. Gosset, 1908). The probable error of a mean. Biometrika 6.
- Welch, B. L. (1947). The generalization of 「Student's」 problem. Biometrika 34.
- Cushny, A. R. & Peebles, A. R. (1905) 睡眠数据；R 内置 sleep 数据集经典算例
- Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences（效应量惯例）
- t 分布 CDF/分位数经不完全贝塔函数（Lentz 连分式，Numerical Recipes §6.4）计算
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