置信区间计算器
均值 CI（z/t 双口径）与比例 CI（Wald/Wilson 双口径），90/95/99/自定义置信水平，附 MOE 样本量再缩放表
在线置信区间计算器：均值的置信区间 x̄ ± 临界值·s/√n（σ 已知用 z 区间，σ 未知自动用 t 区间，df = n−1）， 比例的置信区间 p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n)（Wald），n<30 或 np<5 时自动给 Wilson 分数区间并高亮说明。 支持 90% / 95% / 99% 与自定义置信水平，输出区间、标准误、误差范围（MOE）， 并给「其他样本量 n 下的 MOE 对比表」帮你判断该收多少数据。95% 双侧 z = 1.959964、t(0.975, 24) = 2.063899 等锚点精确复现， 分位数用逆 erf（牛顿精化）与不完全贝塔反解计算，双精度口径。全部计算在浏览器本地完成，不上传任何数据。
95% 置信区间不是说「参数有 95% 概率落在这段里」： 频率学派的含义是——若反复抽样并按同一方法构造区间，约 95% 的区间会盖住真值。 区间是随机的，参数是固定的，写报告时别把两件事说反。
置信水平
标准差口径
何时用 t：总体标准差 σ 未知（绝大多数实际场景，用样本标准差 s 代替）时用 t 分布，n<30 时必须用 t； n≥30 时 t 与 z 已很接近。只有 σ 确实已知（如工艺标准差受控）才用 z 区间。
95% 置信区间（t 区间，df=24）
[ 46.6978, 53.3022 ]
x̄ ± MOE = 50.0000 ± 3.3022
t 区间：x̄ ± t(α/2, df=n−1)·s/√n，t(0.0250 校正后 = 2.063899)，df = 24（不完全贝塔反解）
标准误 SE
1.600000
= s / √n
误差范围 MOE
3.302238
= 临界值 × SE
临界值
2.063899
t(1−α/2, 24)
| 样本量 n | 自由度 / 临界值 | 标准误 SE | MOE（95%） |
|---|---|---|---|
| 5 | df=4, t = 2.7764 | 3.5777 | 9.9333 |
| 10 | df=9, t = 2.2622 | 2.5298 | 5.7229 |
| 20 | df=19, t = 2.0930 | 1.7889 | 3.7441 |
| 25（当前） | df=24, t = 2.0639 | 1.6000 | 3.3022 |
| 30 | df=29, t = 2.0452 | 1.4606 | 2.9872 |
| 50 | df=49, t = 2.0096 | 1.1314 | 2.2736 |
| 100 | df=99, t = 1.9842 | 0.8000 | 1.5874 |
| 200 | df=199, t = 1.9720 | 0.5657 | 1.1155 |
| 500 | df=499, t = 1.9647 | 0.3578 | 0.7029 |
| 1000 | df=999, t = 1.9623 | 0.2530 | 0.4964 |
MOE 与 1/√n 成正比：样本量翻 4 倍，误差范围减半。t 临界值随 df 增大向 z=1.959964 收敛。
z 区间 vs t 区间
z：x̄ ± z·σ/√n σ 已知
t：x̄ ± t(α/2, n−1)·s/√n σ 未知
实际数据几乎总是 σ 未知 → 用 t。t 的尾巴比 z 粗，补偿了 s 对 σ 的估计误差： n=6 时 t(0.975, 5) = 2.570582 比 z = 1.959964 宽 31%；n=30 时 t(0.975, 29) = 2.045230 只宽 4%。 「n ≥ 30 就能用 z」是 t 表时代的经验法则，如今直接算 t 没有任何成本。
Wald 为什么会翻车
- 边界越界：p̂ = 0.98、n = 50 时 Wald 上限 1.019 > 1，概率超过 100%，显然荒谬；Wilson 天然落在 [0,1] 内。
- 覆盖率不足：名义 95% 的 Wald 区间在 p̂ 远离 0.5 时真实覆盖率可跌到 80% 以下；Wilson 的覆盖率始终接近名义水平。
- 经验法则：np̂ ≥ 5 且 n(1−p̂) ≥ 5 且 n ≥ 30 才放心用 Wald；否则本页自动切到 Wilson。
#置信区间是什么？公式、FAQ 与参考
置信区间计算器说明
置信区间用样本给未知参数一个「有把握的范围」：均值 CI 是 x̄ ± 临界值 × 标准误， 比例 CI 是 p̂ ± z × √(p̂(1−p̂)/n)（Wald）或 Wilson 分数区间。临界值由置信水平决定： 95% 双侧 z = 1.959964；σ 未知时改用 t 分布（df = n−1），95% 且 df=24 时 t = 2.063899。 本页 z 分位数用逆误差函数牛顿精化、t 分位数用不完全贝塔反解（Lentz 连分式）， 双精度复现教科书锚点。全部计算在浏览器本地完成。
公式汇总
均值 z 区间：x̄ ± z(1−α/2)·σ/√n（σ 已知）
均值 t 区间：x̄ ± t(1−α/2, n−1)·s/√n（σ 未知，df = n−1）
Wald 比例区间：p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n)
Wilson 区间：(p̂ + z²/2n ± z·√(p̂(1−p̂)/n + z²/4n²)) / (1 + z²/n)
标准误与 MOE：SE = s/√n，MOE = 临界值 × SE；MOE ∝ 1/√n
常见问题 (FAQ)
什么时候用 t 区间而不是 z 区间？
只要总体标准差 σ 未知、用样本标准差 s 代替，就应该用 t 区间（df = n−1）；n < 30 时必须用 t。n ≥ 30 时 t 与 z 的差别已经很小（95% 时约 4%），但仍建议直接用 t。只有 σ 确实已知（例如受控工艺的既定标准差）才使用 z 区间。
95% 置信区间究竟是什么意思？
它不是说「真值有 95% 概率在这个区间里」——真值是固定数，区间才是随机的。正确表述：按同一方法反复抽样并构造区间，长期看约 95% 的区间会盖住真值。因此对同一批数据把置信水平从 95% 提到 99%，区间只会变宽（临界值从 1.96 升到 2.576），覆盖承诺才更可靠。
样本量翻倍，误差范围减半吗？
不是。MOE 与 1/√n 成正比：样本量翻 4 倍 MOE 才减半。想精确控制 MOE，可以用 MOE(n) = z·σ/√n 反解 n = (z·σ/MOE)²。本页的 n 再缩放表列出了其他样本量下的 MOE 对比，可直接查。
x = 0 或 x = n 时区间怎么算？
此时 Wald 区间的标准误为 0，区间退化为一个点，明显失真。Wilson 区间仍能给出合理范围（例如 0/100 的 95% Wilson 上限约 3.7%）。本页在 np̂ < 5 或 n(1−p̂) < 5 或 n < 30 时自动推荐 Wilson，并保留 Wald 作对照。
计算数据会上传吗？
不会。均值、标准差、样本量与比例全部在你的浏览器本地计算，不发送任何网络请求，输入数值不被存储或上传。
参考来源
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §7.2.2「Confidence Intervals」
- Wilson, E. B. (1927). Probable inference, the law of succession, and statistical inference. JASA 22.
- Brown, Cai & DasGupta (2001). Interval estimation for a binomial proportion. Statistical Science 16.
- Student (W. S. Gosset, 1908) t 分布；分位数经不完全贝塔函数（Lentz 连分式，Numerical Recipes §6.4）数值反解
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