先标准化 z=(X−μ)/σ，再按「行+列」定位：z=1.96 → 行 1.9、列 0.06 → Φ=0.9750。给概率反查 z 用逆 CDF（本页逆模式）。

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正态分布计算器

Q: 68-95-99.7 法则准吗？

对正态分布是精确值的近似口诀：±1σ=68.27%、±2σ=95.45%、±3σ=99.73%。只对正态或近似正态分布成立，偏态/厚尾分布会明显偏离。

Q: IQ 130 超过多少人？

IQ 定义 μ=100、σ=15，z=2，P(X≥130)=1−Φ(2)=0.02275，约超过 97.7% 的人。

Q: P(X≤x)=0.975 对应的 x 怎么求？

标准正态 x=Φ⁻¹(0.975)=1.959964（逆 erf 牛顿精化）；一般正态再乘 σ 加 μ。这正是 95% 置信区间临界值 1.96 的来历。

区间概率、单尾/双尾概率、逆 CDF 分位数与 PDF 曲线可视化，附实时标准分 z 换算与完整 Z 表（Φ 值 erf 精确计算）

在线正态分布计算器：输入均值 μ 与标准差 σ，算区间概率 P(a≤X≤b)、单尾概率 P(X≤x) / P(X≥x)、双尾概率 P(|X−μ|≥d) 与逆模式（P(X≤x)=p 反解 x，逆 erf 牛顿精化）； PDF 曲线 SVG 可视化并把所求区间涂色，原始值 ↔ 标准分 z = (X−μ)/σ 实时联动。附 0.0~3.9 步进 0.1 的完整 Z 表（Φ 值由 erf 级数 + 连分式精确计算而非抄表）与 68-95-99.7 法则卡。 Φ(1)=0.841344746、P(−1.96≤X≤1.96)=0.950004、逆 p=0.975 → x=1.959964 等锚点双精度复现。全部计算在浏览器本地完成，不上传任何数据。

先标准化再看表：Z 表只给标准正态 N(0,1) 的 Φ(z)。一般正态 N(μ,σ²) 先换 z = (X−μ)/σ 再查表，本页已自动完成这步换算；直接拿原始值查 Z 表是最常见的出错点。

均值 μ

标准差 σ > 0

快捷示例

下限 a

上限 b

P(-1.9600 ≤ X ≤ 1.9600)，X ~ N(0.00, 1.00²)

0.950004

z_a = -1.9600，z_b = 1.9600；P = Φ(1.9600) − Φ(-1.9600) = 0.975002 − 0.024998

概率密度曲线（μ ± 4σ = [-4.00, 4.00]，涂色区域为所求概率）

标准分 z 联动

原始值 X

标准分 z = (X−μ)/σ = 1.0000

Φ(z) = P(X ≤ 1.00) = 0.841345

P(X ≥ 1.00) = 0.158655

68-95-99.7 法则

μ ± 1σ0.682689

μ ± 2σ0.954500

μ ± 3σ0.997300

约 68% 数据落在均值 ±1σ 内、95% 在 ±2σ 内、99.7% 在 ±3σ 内（精确值 68.27% / 95.45% / 99.73%）。记住这组数能秒估大多数「离均值几个 σ」的问题；σ 下方的 0.13% / 2.35% 尾巴常被忽略但很关键。

用置信区间计算器算 x̄ ± MOE →

#标准正态 Z 表（z = 0.0 ~ 3.9，Φ 值 erf 精确计算）

表值 Φ(z) = P(Z ≤ z)，z = 行号 + 列号。例如 z=1.96 → 行 1.9 + 列 0.06 → 0.9750。本表 Φ 值由双精度误差函数（erf 级数 + 连分式）逐格计算，非抄表，可直接用于插值核对。

z	+0.00	+0.01	+0.02	+0.03	+0.04	+0.05	+0.06	+0.07	+0.08	+0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990
3.1	0.9990	0.9991	0.9991	0.9991	0.9992	0.9992	0.9992	0.9992	0.9993	0.9993
3.2	0.9993	0.9993	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9995	0.9995	0.9995
3.3	0.9995	0.9995	0.9995	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9997
3.4	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9998
3.5	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998
3.6	0.9998	0.9998	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.7	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.8	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.9	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

#正态分布公式、FAQ 与参考

正态分布计算器说明

正态分布 N(μ, σ²) 的概率密度 f(x) = exp(−(x−μ)²/(2σ²)) / (σ√(2π))，累积分布 Φ(z) 经误差函数 erf(t) = (2/√π)∫₀ᵗ e^(−u²)du 计算：Φ(z) = (1 + erf(z/√2))/2。本页 erf 用 Maclaurin 级数（t 较小）与 DLMF 7.9 连分式（远尾）双段实现，双精度误差 ~1e-15；逆 CDF 对 erf 基 Φ 做二分定界 + 牛顿精化， 95% 分位 z = 1.959963984 逐位复现。全部计算在浏览器本地完成。

公式汇总

密度：f(x) = exp(−(x−μ)²/(2σ²)) / (σ√(2π))

标准化：z = (X − μ)/σ ~ N(0,1)

区间：P(a≤X≤b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)

单尾：P(X≤x) = Φ((x−μ)/σ)；P(X≥x) = 1 − Φ((x−μ)/σ)

双尾：P(|X−μ|≥d) = 2·(1 − Φ(d/σ))

逆 CDF：P(X≤x)=p → x = μ + σ·Φ⁻¹(p)，Φ⁻¹ 经逆 erf 牛顿精化

常见问题 (FAQ)

Z 表怎么查？

先标准化 z=(X−μ)/σ，再用「行 + 列」定位：z=1.96 → 行 1.9、列 0.06 → Φ=0.9750。反过来给概率找 z 用逆模式（本页已内置）。超过 3.9 的 z：Φ(4)≈0.9999683，再远的尾巴一般用 1−Φ 表或直接交给本页计算。

68-95-99.7 法则准吗？

对正态分布是精确值的近似口诀：±1σ = 68.27%、±2σ = 95.45%、±3σ = 99.73%。它只对正态（或近似正态）成立；偏态或厚尾分布会明显偏离，切比雪夫不等式的 1−1/k² 是任何分布的兜底。

IQ 130 超过多少人？

IQ 定义 μ=100、σ=15，z=(130−100)/15=2，P(X≥130)=1−Φ(2)=0.02275，即约超过 97.7% 的人、每 44 人约有 1 人。这就是「两个标准差」在真实量表上的含义。

P(X≤x)=0.975 对应的 x 怎么求？

标准正态下 x = Φ⁻¹(0.975) = 1.959964（逆 erf 牛顿精化）；一般正态再乘 σ 加 μ。这正是 95% 置信区间临界值 1.96 的来历——与置信区间计算器联动使用。

计算数据会上传吗？

不会。μ、σ 与概率全部在你的浏览器本地计算，不发送任何网络请求，输入数值不被存储或上传。

参考来源

Gauss, C. F. (1809) 正态误差律；Laplace 中心极限定理传统
DLMF §7.2 / §7.9：误差函数 erf 级数与连分式表达
Acklam, P. (2021). An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function（逆 CDF 初值 + 牛顿精化）
NIST/SEMATECH e-Handbook §1.3.6「Normal Distribution」

正态分布计算器

标准分 z 联动

68-95-99.7 法则

正态分布计算器说明

公式汇总

常见问题 (FAQ)

Z 表怎么查？

68-95-99.7 法则准吗？

IQ 130 超过多少人？

P(X≤x)=0.975 对应的 x 怎么求？

计算数据会上传吗？

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