方差分析计算器
单因素 ANOVA：SS 分解 / F 检验 / η² 效应量 / 完整方差分析表，附两两比较（合并 t + Bonferroni 校正）
在线方差分析计算器：粘贴多组数据（组间空行分隔，或用「组名:」前缀）做单因素 ANOVA， 输出各组 n / 均值 / 方差 / 标准差对照表、完整方差分析表（SS组间 = Σnᵢ(x̄ᵢ−x̄)²、SS组内 = ΣΣ(xᵢⱼ−x̄ᵢ)²、 df1 = k−1、df2 = N−k、MS、F = MS组间/MS组内）、p 值（F 分布 CDF 基于不完全贝塔 I_x(d1/2, d2/2)，双精度） 与 η² = SS组间/SS总 效应量，附显著性徽章与两两比较 （合并 MS组内 的 t 检验 + Bonferroni 校正 p×比较数，并注明非 Tukey HSD）。 组间 [23,25,28,24,27] / [30,32,29,31,33] / [25,27,26,28,24] 等锚点精确复现（F=15.2473，p=0.000507）。 全部计算在浏览器本地完成，不上传任何数据。
ANOVA 显著只说「至少有两组不同」：它不告诉你是哪两组、 也不意味着所有组都两两不同——结论要靠下面的两两比较；而比较做了多次，必须校正多重性（Bonferroni）， 否则假阳性会滚雪球。
组内数据用逗号 / 空格 / 换行分隔均可；「组名:」行开启新组（名称可中文），空行也会分隔新组（自动命名 组1、组2…）。每组至少 2 个数据。
| 组 | n | 均值 | 方差 s² | 标准差 s |
|---|---|---|---|---|
| A | 5 | 25.4000 | 4.3000 | 2.0736 |
| B | 5 | 31.0000 | 2.5000 | 1.5811 |
| C | 5 | 26.0000 | 2.5000 | 1.5811 |
单因素方差分析（k = 3 组，N = 15）
p < 0.001（*** 极显著）F 统计量
15.2473
df (组间, 组内)
2, 12
p 值
0.00051
效应量 η²
0.7176
p < 0.05：拒绝「各组均值相等」的原假设，至少有两组存在显著差异；具体是哪两组见下方两两比较。 η² = 0.7176，即组间差异解释了总变异的 71.8%（0.01 小 / 0.06 中 / 0.14 大，Cohen 惯例）。
| 来源 | SS | df | MS | F | p |
|---|---|---|---|---|---|
| 组间（因素） | 94.5333 | 2 | 47.2667 | 15.2473 | 0.00051 |
| 组内（误差） | 37.2000 | 12 | 3.1000 | — | — |
| 总计 | 131.7333 | 14 | — | — | — |
两两比较（合并 MS组内 的 t 检验 + Bonferroni 校正）
注：此处为「两两 t 检验（方差用 ANOVA 的 MS组内 合并估计，df = 12）+ Bonferroni 校正（p 值 × 比较数 m = 3，置信水平按 α/m 收缩）」， 不是 Tukey HSD——Tukey 需要学生化极差分布，本页未实现； Bonferroni 结果通常比 Tukey 略保守，但原理透明、任何 k 都适用。
| 比较 | 均值差 | t | 校正后 p | 95% CI（Bonferroni） |
|---|---|---|---|---|
| A − B | -5.6000 | -5.0289 | 0.00088 | [ -8.695, -2.505 ] |
| A − C | -0.6000 | -0.5388 | 1.00000 | [ -3.695, 2.495 ] |
| B − C | 5.0000 | 4.4901 | 0.00222 | [ 1.905, 8.095 ] |
为什么用 ANOVA 而不是多次 t 检验
3 组均值两两比较要做 3 次 t 检验，每次 5% 的假阳性率会让「至少一次误报」的概率升到约 14% （1−0.95³）；5 组要 10 次比较，整体假阳性率超过 40%。ANOVA 把检验合并成一次 F 检验， 在「各组均值全相等」的原假设下把整体第一类错误率控制在 α；显著之后才进入校正后的两两比较定位差异。 另外 F 检验用 MS组内 合并所有组的方差估计（df = N−k），比两两 t 检验各用各的方差更稳。
F = MS组间 / MS组内
组间方差远大于组内方差 → F 大 → p 小 → 组间确有差异。k=2 且两组等方差时，F = t²（与 Student t 检验完全等价）。
η² 与使用前提
η² = SS组间/SS总 是「组别解释了总变异的比例」：0.01 小、0.06 中、0.14 大（Cohen 惯例）。 ANOVA 的前提：各组观测独立、组内残差近似正态、各组方差接近（F 检验对方差不等有一定耐受性， 组间样本量悬殊时更敏感）；严重违背时考虑 Welch ANOVA 或非参数 Kruskal-Wallis 检验。
#ANOVA 公式、FAQ 与参考
方差分析计算器说明
单因素方差分析（One-way ANOVA）检验「k 组均值是否全相等」：把总变异拆成组间 SS = Σnᵢ(x̄ᵢ−x̄)² 与组内 SS = ΣΣ(xᵢⱼ−x̄ᵢ)²，F = (SS间/(k−1)) / (SS内/(N−k))。F 分布 CDF 基于正则化不完全贝塔 I_x(d1/2, d2/2)（p 值取上尾 I_{d2/(d2+d1F)}(d2/2, d1/2)，保远尾精度）。η² = SS间/SS总 度量效应量。 显著后用合并 MS组内 的两两 t 检验 + Bonferroni 校正（p × C(k,2)）定位差异，本页已注明其与 Tukey HSD 的关系。 全部计算在浏览器本地完成。
公式汇总
组间：SS间 = Σ nᵢ(x̄ᵢ − x̄)²，df1 = k−1，MS间 = SS间/df1
组内：SS内 = ΣΣ (xᵢⱼ − x̄ᵢ)²，df2 = N−k，MS内 = SS内/df2
F 统计量：F = MS间 / MS内；p = P(F_{df1,df2} ≥ F)（不完全贝塔上尾）
效应量：η² = SS间 / (SS间 + SS内)
两两比较：t = (x̄ᵢ−x̄ⱼ)/√(MS内(1/nᵢ+1/nⱼ))，p_adj = min(1, p_raw × m)，m = C(k,2)（Bonferroni，非 Tukey）
常见问题 (FAQ)
什么时候用 ANOVA 而不是多次 t 检验？
三组及以上一律先用 ANOVA：每多一次比较，整体假阳性率就膨胀一截（10 次比较不做校正时超过 40%）。ANOVA 一次性控制整体 α，方差估计也更稳。只有 k=2 时 t 检验与 ANOVA 完全等价（t² = F）。
ANOVA 显著后该用什么两两比较？
常用 Tukey HSD（基于学生化极差分布，本页未实现）、Bonferroni（本页实现：两两 t 检验 p 值乘以比较数）、Holm 逐步校正等。Bonferroni 在比较数很多时偏保守但永不过度乐观，任何组数都适用；需要 Tukey 可用 R 的 TukeyHSD()。
各组方差不齐怎么办？
看组对照表的方差列：方差比超过 4:1 且样本量不等时经典 F 检验的第一类错误会失真，可改用 Welch ANOVA（不假定等方差）或对数据做变换（取对数）。经典 F 对轻度不等方差有一定耐受性，尤其是各组 n 相近时。
η² 和 R² 是一回事吗？
本质相同：都是「组别/因素解释的变异占总变异的比例」，把组别变成虚拟变量做回归时 R² 恰好等于 η²。ANOVA 语境习惯叫 η²，回归语境叫 R²。
计算数据会上传吗？
不会。分组解析、SS 分解、F 检验与两两比较全部在你的浏览器本地计算，不发送任何网络请求，输入数据不被存储或上传。
参考来源
- Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers（方差分析起源）
- Bonferroni 校正与多重比较：Dunn, O. J. (1961). Multiple comparisons among means. JASA 56.
- η² 效应量惯例：Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences.
- F 分布 CDF 经正则化不完全贝塔（Lentz 连分式，Numerical Recipes §6.4）；R aov 口径验证
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