卡方检验计算器
拟合优度检验（自定义期望比例）与 R×C 列联表独立性检验，附贡献热力标色、Yates 校正与 Fisher 精确检验
在线卡方检验计算器：拟合优度检验 χ² = Σ(O−E)²/E（观测频数 + 可选期望比例，默认均匀期望）， 独立性检验（2×2 至 5×5 列联表，行内粘贴自动算行合计/列合计/期望频数 E = 行合计×列合计/总）， 每格贡献 (O−E)²/E 热力标色（贡献 > 4 标红）快速定位偏离来源； 2×2 表附 Yates 连续性校正 χ² 与 Fisher 精确检验（超几何双侧）p 值。 卡方 p 值基于正则化不完全伽马函数 P(df/2, x/2)（级数 + Lentz 连分式双段）双精度计算， 孟德尔 9:3:3:1 经典数据（χ² = 0.4700，p = 0.9254）等锚点精确复现。全部计算在浏览器本地完成，不上传任何数据。
卡方检验用的是频数不是百分比：输入必须是各类别的观测计数（正整数为主）。 任一格期望频数 E < 5 时近似失效——先合并相邻类别，或改用 Fisher 精确检验（本页 2×2 已内置）。
比例会自动归一化（9:3:3:1 与 0.5625:0.1875:0.1875:0.0625 等价），期望频数 Eᵢ = 比例ᵢ/Σ比例 × 总数。
拟合优度检验结果（k = 4 类）
p = 0.92543（ns 不显著）χ² 统计量
0.4700
自由度 df = k−1
3
p 值
0.92543
p 值较大（不显著）→ 观测分布与期望比例「无显著差异」，数据拟合该理论比例； p 值较小 → 观测偏离期望显著。注意卡方检验方向是「拟合是否成立」，与 t 检验的习惯相反。
| 类别 | 观测 O | 期望 E | 贡献 (O−E)²/E |
|---|---|---|---|
| 1 | 315.00 | 312.7500 | 0.0162 |
| 2 | 108.00 | 104.2500 | 0.1349 |
| 3 | 101.00 | 104.2500 | 0.1013 |
| 4 | 32.00 | 34.7500 | 0.2176 |
期望频数 E < 5 怎么办
- 合并类别：把理论占比小的相邻类合并，直到合并后 E ≥ 5（注意合并后 df 相应减少）。
- 换 Fisher 精确检验：2×2 表直接用超几何精确 p 值（本页已内置）；R×C 可用蒙特卡洛重抽样。
- 加大样本：E 与总样本量成正比，翻倍采样通常最直接。
经验阈值：所有 E ≥ 5 卡方近似可靠；1 ≤ E < 5 谨慎（用 Yates 或 Fisher）；有 E < 1 必须换方法。
卡方检验三大坑
- 输入是频数：占比、均值、连续测量值都不能直接进卡方检验；先按类别计数。
- 独立观测：同一受试者重复计数会高估显著性；配对设计该用 McNemar 检验。
- 显著 ≠ 相关强：n 大时微弱偏离也显著，看 Cramér's V = √(χ²/(n·min(R−1,C−1))) 判断强度。
#卡方检验公式、FAQ 与参考
卡方检验计算器说明
卡方检验回答「观测频数与理论期望差多远」：χ² = Σ(O−E)²/E，df 由模型决定（拟合优度 k−1，独立性 (R−1)(C−1)）。 p 值 = P(χ²_df ≥ χ²)，通过正则化不完全伽马 P(df/2, x/2) 计算（x 小用级数、x 大用 Lentz 连分式，双精度衔接）。 2×2 表的 Fisher 精确检验对超几何分布逐表枚举求和，与 R fisher.test 同口径。 孟德尔 9:3:3:1 数据（χ²=0.4700，df=3，p=0.9254）为内置锚点。全部计算在浏览器本地完成。
公式汇总
统计量：χ² = Σ (Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ（频数型数据，非负计数）
拟合优度：Eᵢ = N × 比例ᵢ/Σ比例（默认均匀 Eᵢ = N/k），df = k − 1
独立性：Eᵢⱼ = 行合计ᵢ × 列合计ⱼ / 总数，df = (R−1)(C−1)
Yates 校正（2×2）：χ² = Σ (|Oᵢ − Eᵢ| − 0.5)² / Eᵢ，df = 1
Fisher 精确（2×2）：P(a=k) = C(r₁,k)·C(r₂,c₁−k)/C(n,c₁)，双侧 p = Σ P(a=k)（P ≤ P(观测)）
p 值：P(χ²_df ≥ x) = Q(df/2, x/2) = 1 − P(df/2, x/2)（正则化不完全伽马）
常见问题 (FAQ)
期望频数小于 5 一定不能用卡方吗？
「所有 E ≥ 5」是保守经验线。E 在 1~5 之间时近似已经偏保守，配合 Yates 校正或 Fisher 精确检验仍可用；有 E < 1 则必须换方法。df 大（如 8×8 表）时少量 E 略小于 5 影响有限，多数 E ≥ 5 即可。
拟合优度与独立性检验的区别？
拟合优度是「一组频数 vs 一个理论分布」（单变量，df = k−1）；独立性是「按两个变量交叉分类的频数表是否相关」（双变量，df = (R−1)(C−1)），期望由数据自身的边际合计决定而非外部理论。
Yates 校正什么时候用？
仅 2×2 表，且任一格期望频数较小（如 < 5 或接近 5）时考虑使用；它让 p 值更保守。样本量大时校正与否几乎无差别，现代统计软件（R 默认）对 2×2 更推荐直接用 Fisher 精确检验。
Fisher 精确检验的 p 值为什么和卡方差很多？
Fisher 不做任何大样本近似，直接按超几何分布精确枚举；小样本下卡方近似系统性偏乐观（χ² 偏大），Fisher 更可信。两种口径都给出时，小样本优先引用 Fisher。
贡献热力标色怎么用？
每格贡献 (O−E)²/E 相加等于 χ²。贡献 > 4 的格对总体显著性的「贡献」最大（自由度 1 的 0.05 临界值恰为 3.84），标红格就是「哪里偏离了」的直接答案，比只看总 χ² 更有诊断价值。
计算数据会上传吗？
不会。频数解析、χ²、p 值与 Fisher 枚举全部在你的浏览器本地计算，不发送任何网络请求，输入数据不被存储或上传。
参考来源
- Pearson, K. (1900). On the criterion that a given system of deviations… Phil. Mag. 50.
- Yates, F. (1934). Contingency tables involving small numbers… JRSS Suppl. 1.
- Fisher, R. A. (1922). On the interpretation of χ² from contingency tables… JRSS 85.
- 孟德尔豌豆试验 9:3:3:1 比率（315:108:101:32）经典算例
- 不完全伽马级数/连分式与 Lentz 算法：Numerical Recipes §6.2；R chisq.test / fisher.test 同口径验证
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