线性回归计算器
最小二乘 ŷ=a+bx：斜率/截距/r/R²、残差逐点表、r 显著性 t 检验、散点回归图与预测区间（x₀ 反推）
在线线性回归计算器：粘贴 X:Y 或「X,Y」两列数据（逗号 / 冒号 / 空格 / 分号宽容解析，每行一点）， 最小二乘拟合 ŷ = a + bx（b = Sxy/Sxx、a = ȳ − b·x̄），输出斜率、截距、相关系数 r、决定系数 R²、 斜率标准误与 r 显著性 t 检验（t = r√(n−2)/√(1−r²)，双侧 p 值基于不完全贝塔精确计算）， 逐点残差表（yᵢ、ŷᵢ、残差）与 SVG 散点 + 回归线图； 预测模式输入 x₀ 给 ŷ₀ ± t·s·√(1 + 1/n + (x₀−x̄)²/Sxx) 预测区间并提示外推风险。 Anscombe I 组经典数据（a=3.0001、b=0.5001、r=0.8164）等锚点精确复现。全部计算在浏览器本地完成，不上传任何数据。
R² 高 ≠ 回归合理：先画散点图看形状再谈拟合——Anscombe 四组数据 R² 全是 0.67，但只有第一组真的是直线关系；预测区间只在观测范围内可信，外推需自担风险。
支持「10:8.04」「10,8.04」「10 8.04」「10;8.04」四种分隔，每行取前两个数为 (X, Y)；空行与无法解析的行自动跳过。
最小二乘拟合结果（n = 11）
ŷ = 3.0001 + 0.5001·x
斜率 b（SE 0.1179）
0.5001
截距 a
3.0001
相关系数 r
0.8164
决定系数 R²
0.6665
残差标准差 s = 1.2366；b 的 t 统计量 = 4.2415（df = 9）， 双侧 p = 0.00217 （** 高度显著）
r 的显著性检验
t = 4.2415
t = r√(n−2)/√(1−r²)，df = n−2 = 9
Sxx / Syy / Sxy
110.000 / 41.273
55.010
数据范围
x ∈ [4.000, 14.000]
y ∈ [4.260, 10.840]
散点图与回归线
残差逐点表（残差 = yᵢ − ŷᵢ）
| # | xᵢ | yᵢ | ŷᵢ | 残差 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 10.0000 | 8.0400 | 8.0010 | 0.0390 |
| 2 | 8.0000 | 6.9500 | 7.0008 | -0.0508 |
| 3 | 13.0000 | 7.5800 | 9.5013 | -1.9213 |
| 4 | 9.0000 | 8.8100 | 7.5009 | 1.3091 |
| 5 | 11.0000 | 8.3300 | 8.5011 | -0.1711 |
| 6 | 14.0000 | 9.9600 | 10.0014 | -0.0414 |
| 7 | 6.0000 | 7.2400 | 6.0006 | 1.2394 |
| 8 | 4.0000 | 4.2600 | 5.0005 | -0.7405 |
| 9 | 12.0000 | 10.8400 | 9.0012 | 1.8388 |
| 10 | 7.0000 | 4.8200 | 6.5007 | -1.6807 |
| 11 | 5.0000 | 5.6800 | 5.5005 | 0.1795 |
|残差| > 2s 的点标红（可能的离群点）；残差之和恒为 0，残差应大致随机散布——若呈弯曲/喇叭形，线性模型不合适。
预测模式（x₀ → ŷ₀ ± 预测区间）
x₀ = 10.0000 的预测
ŷ₀ = 8.0010
95% 预测区间 [ 5.0671, 10.9349 ]（SE_pred = 1.2970）
r 与 R² 怎么读
r ∈ [−1, 1] 线性相关方向与强度
R² = r² y 的方差被 x 线性解释的比例
b = r·(sy/sx) 斜率与 r 的关系
R² = 0.67 意思是「y 变异的 67% 能被 x 的线性项解释」。r 只度量线性关系： 强曲线关系（如 y=x²，对称区间）r 可以是 0；一个离群点也能把 r 从 0 拉到 0.9。
R² 的常见误读
- 相关 ≠ 因果：冰淇淋销量与溺水人数 r 很高，共同原因是气温。
- R² 低 ≠ 没关系：可能需要加变量、变换（取对数）或用非线性模型。
- 范围敏感：截取 x 的一段会让 R² 骤变，跨研究比较 R² 要先对齐范围。
#线性回归公式、FAQ 与参考
线性回归计算器说明
最小二乘法找直线 ŷ = a + bx，使残差平方和 Σ(yᵢ−ŷᵢ)² 最小：b = Sxy/Sxx、a = ȳ − b·x̄， 其中 Sxy = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)、Sxx = Σ(xᵢ−x̄)²。r = Sxy/√(Sxx·Syy) 度量线性相关， R² = r² 解释变异比例；r 的显著性用 t = r√(n−2)/√(1−r²)（df = n−2）检验，p 值经不完全贝塔精确计算。 预测区间 SE_pred = s√(1 + 1/n + (x₀−x̄)²/Sxx)，x₀ 离均值越远区间越宽——这是回归「两端翘起」的几何来源。 全部计算在浏览器本地完成。
公式汇总
斜率：b = Sxy/Sxx；截距：a = ȳ − b·x̄
相关系数：r = Sxy/√(Sxx·Syy)；R² = r²
残差方差：s² = SSE/(n−2)，SSE = Syy − b·Sxy = Syy(1−r²)
斜率标准误：SE_b = s/√Sxx；t = b/SE_b = r√(n−2)/√(1−r²)
预测区间：ŷ₀ ± t(0.975, n−2)·s·√(1 + 1/n + (x₀−x̄)²/Sxx)
R² 的含义与常见误读
R² 回答「x 的线性项解释了 y 变异的百分之多少」，它不回答「x 是否导致 y」「模型形式是否正确」， 也不保证预测可靠。四大误读：把相关当因果；R² 高就免检残差（离群点与曲线关系都能造出高 R²）； 用 R² 比较不同因变量的模型（不可比）；对时间序列数据直接回归（伪回归，r 可以虚高）。 配合本页残差表与散点图一起看，才是完整流程。
常见问题 (FAQ)
r=0.8 强相关吗？
看领域：物理测量里 0.8 很弱，社会科学里算强。更稳的口径是看 R²（0.64 的变异被解释）与散点图形态；样本量小时 |r| 还要除以抽样波动——本页 t 检验给出精确 p 值。
预测区间和置信区间有什么区别？
置信区间描述「x₀ 处平均响应 ŷ」的不确定度（只含参数估计误差，根号里没有 1）；预测区间描述「单个新观测 y」的不确定度（还要加一项残差方差 s²，根号里的 1）。所以预测区间恒比置信区间宽，且不随 n→∞ 收窄到零。
数据里有离群点怎么办？
残差表已把 |残差| > 2s 的点标红。先查数据录入错误与实验异常，确认是真实观测后再考虑：稳健回归、加虚拟变量或分别报告「含/不含」两套结果——直接删除需要说明理由。
Anscombe 数据是什么？
F. J. Anscombe (1973) 构造的四组 x,y 数据：均值、回归线（ŷ=3+0.5x）、R²=0.67 几乎完全相同，但散点形态天差地别（直线、曲线、离群点、水平诱饵）。它证明只看回归数字不看图会犯系统错误——本页示例即第一组。
计算数据会上传吗？
不会。数据解析、回归拟合、残差与预测全部在你的浏览器本地计算，不发送任何网络请求，输入数据不被存储或上传。
参考来源
- Legendre, A. M. (1805) 最小二乘法；Gauss (1809) 正规方程
- Anscombe, F. J. (1973). Graphs in statistical analysis. The American Statistician 27.
- r 显著性检验与预测区间：NIST/SEMATECH e-Handbook §4.1.4「Linear Regression」
- t 分布 p 值经不完全贝塔函数（Lentz 连分式，Numerical Recipes §6.4）计算
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