Sallen-Key 滤波器设计
二阶有源低通：截止频率 / Q 值反解元件、E24 与常用容值吸附回验、增益自激预警
在线 Sallen-Key 二阶低通滤波器计算器：输入截止频率与 Q 值（Butterworth / Bessel / Chebyshev 预设或自定义）， 按等值电阻方案（R1=R2，电容比定 Q）与标准方案（R1≠R2）两种拓扑反解 R/C 元件， 自动吸附 E24 电阻档与常用容值档并回验实际 fc/Q 偏差；输入同相增益 K 时按 Q = √(R1R2C1C2)/[C2(R1+R2)+R1C1(1−K)] 校核 Q 抬升与自激风险（等值等容下 K≥3 自激）。 全部计算在浏览器本地完成，不上传任何数据。
计算口径与元件标号：R1 自输入端接到 R1/R2 结点，R2 由结点接到运放同相端；C1 为反馈电容（结点接运放输出）， C2 为同相端对地电容。特征频率 fc = 1/(2π√(R1R2C1C2))；单位增益下 Q = √(R1R2C1C2)/[C2(R1+R2)]。 等值方案取 R1=R2=R、C1=mC2，此时 Q = √m/2（m = C1/C2 = 4Q²），约束为必须采用单位增益缓冲接法。 元件吸附口径：电阻按 E24（±1% 金属膜），电容按常用容值档（E12 口径：1.0/1.2/1.5/1.8/2.2/2.7/3.3/3.9/4.7/5.6/6.8/8.2 × 十进制）。
元件设计
Butterworth：最平坦，fc 处 −3dB，无纹波（默认）
R1/R2 结点接运放输出
同相端对地
K = 1 + R4/R3；增益会抬高 Q，过大自激
R1（输入侧，精确值）
7857 Ω
E24 吸附 7.5 kΩ（偏差 -4.5%）
R2（输出侧，精确值）
14654 Ω
E24 吸附 15 kΩ（偏差 +2.4%）
回验（吸附元件 + 增益 K=1）：fc = 1011.7 Hz（+1.2%）， Q = 0.699（-1.1%）
吸附偏差在 ±5% 内，一般可直接采用
E24 吸附在最近档 ±1 档共 9 组组合中按"fc/Q 最大偏差最小"择优，避免单只就近取档导致偏差叠加。
幅频注记：这是二阶低通，高频以 −40dB/dec（每十倍频 40dB）滚降、相位趋于 −180°。 特征频率 fc 处的增益为 20·lg(K·Q) = -3.11 dB ——仅当 Q = 0.707（Butterworth，K=1）时恰为 −3dB； 当前 Q ≤ 0.707 无峰化，通带单调下降。
设计公式（已核实口径）
fc = 1 / (2π·√(R1R2C1C2))
Q(K) = √(R1R2C1C2) / [C2(R1+R2) + R1C1(1−K)]
K=1 时退化为 Q = √(R1R2C1C2)/[C2(R1+R2)]；等值方案 R1=R2、C1=mC2 时 Q = √m/2，m = C1/C2 = 4Q²
标准方案反解（K=1）
R1R2 = 1/((2πfc)²·C1C2)，R1+R2 = √(R1R2)·√(C1/C2)/Q，再解二次方程；有实数解的充要条件是 C1/C2 ≥ 4Q²
- 标号约定：C1 为反馈电容（R1/R2 结点接运放输出），C2 为同相端对地电容；不同资料标号可能相反，以"哪个电容出现在 Q 分母的 (R1+R2) 项"为准。
- 自激阈值：K_crit = 1 + C2(R1+R2)/(R1C1)；等值等容时恰为 K=3。增益只改 Q（阻尼项），不改 fc。
- 增益位置：K>1 时把较小电阻放输入侧（R1），可减小增益对 Q 的抬升。
实用提示
- 运放选型：增益带宽积建议 ≥ 100×fc（高 Q 时更高），压摆率按 2π·fc·Vpp 估算；否则 fc 处的实际 Q 与增益会低于设计值。
- 元件精度：电阻用 ±1% 金属膜，电容用 NP0/C0G（陶瓷）或薄膜；X7R/Y5V 容值随偏压温度漂移，Q 会跟着漂。
- 电容优先定值：容值档比阻值档稀疏，先按常用容值定 C 再算 R；两支路等效阻抗尽量接近运放驱动能力（kΩ~百 kΩ 量级）。
- 高 Q 风险：Q 越高对元件误差越敏感（灵敏度 ∝ Q），Q > 2 时建议改多重反馈（MFB）拓扑或数字滤波。
免责声明：本页按理想运放模型（输入阻抗无穷大、输出阻抗为零、带宽充足）推导，未计入运放有限带宽、输入电容与元件寄生； 实际 fc/Q 请以网络分析仪或扫频实测为准。
#什么是 Sallen-Key 滤波器
Sallen-Key 拓扑由 R.P. Sallen 与 E.L. Key 于 1955 年提出，用一只运放（或射极跟随器）加两电阻两电容即可实现二阶有源滤波器， 是最常用的模拟有源滤波结构：元件少、输入阻抗高、输出阻抗低、可用单位增益缓冲。 二阶低通的传递函数为 H(s) = K/(1 + s·D + s²·R1R2C1C2)，其中 D = C2(R1+R2) + R1C1(1−K)； 特征频率 fc = 1/(2π√(R1R2C1C2))，Q = √(R1R2C1C2)/D。fc 由四个元件的"积"决定，Q 由"比与和"决定—— 这也是等值方案能用一个电容比 m 独立控制 Q 的原因。
为什么二阶滚降是 −40dB/dec
每个实极点在远高于转折频率处提供 −20dB/dec 的幅频斜率和最多 −90° 相移。一阶 RC 只有一个极点； 二阶低通有两个极点（共轭复极点或两个实极点），远端斜率为 −40dB/dec，相位趋于 −180°。 直观地说，每十倍频率，一阶把干扰压到 1/10，二阶压到 1/100。这使二阶成为"够陡又不复杂"的甜点位： 抗混叠、电源纹波滤除、音频分频大多从二阶起步；需要更陡时按二阶节级联到四阶、六阶， 而不是在单节里堆 Q（高 Q 对元件误差过于敏感且容易振铃）。
Butterworth / Bessel / Chebyshev 三族响应
三者都是二阶低通，区别只在 Q 的取值与极点布置： Butterworth（Q=0.707）最平坦——通带内无纹波、fc 处恰为 −3dB、阶跃响应有轻度过冲，是"默认选择"； Bessel（Q=0.577）线性相位——群延迟在通带内最平坦，波形保真最好，过冲最小，但滚降最缓、选择性差，适合脉冲与时域波形传输； Chebyshev（Q>0.707）等纹波——用通带纹波换取更陡的过渡带，Q 越高越陡但峰化、振铃与元件灵敏度越糟（本页取 0.96，约对应 1dB 纹波二阶口径）。 选型口诀：要平坦选 Butterworth，要波形选 Bessel，要陡峭选 Chebyshev。
Q 的物理直觉
Q 是二阶系统"阻尼深浅"的无量纲度量：Q = 1/(2ζ)，ζ 为阻尼比。Q 越小阻尼越重，响应迟缓但无过冲（Q=0.5 为临界阻尼， 等值等容的单位增益 Sallen-Key 恰好落在这里）；Q = 0.707 是"最平坦"的折中；Q 再大，系统在 fc 附近存储越来越多能量， 幅频曲线出现峰化（峰值 ≈ Q/√(1−1/4Q²)），时域阶跃响应出现振铃，衰减振荡 e^(−πft/√(1−1/4Q²)) 画出来的正是"欠阻尼弹簧"； Q→∞（K≥K_crit）阻尼消失，电路自激。Q 也等于谐振点的储能/耗能比之 2π 倍——同一公式贯通滤波器、弹簧与谐振腔。
高阶滤波器的级联
四阶、六阶滤波器不直接设计，而是拆成多个二阶节串联，每节一个 fc 与一个 Q， 按归一化表分配（如四阶 Butterworth 为两节 Q=0.54 与 Q=1.31）。级联顺序有讲究： 把低 Q 节放输入级承受大信号，高 Q 节放末级以免中间级削顶；各级增益分配同理。 注意每节 Sallen-Key 的同相增益 K 都会按 Q(K) = √(R1R2C1C2)/[C2(R1+R2)+R1C1(1−K)] 修改该节 Q—— 设计高阶级联时每节都要用本页方法按实际 K 回验；运放的增益与带宽核算可用 运放增益计算器。
#常见问题 (FAQ)
R1=R2、C1=C2 时 Q 是多少？
单位增益下 Q = 0.5：Q = √(R1R2C1C2)/[C2(R1+R2)] = RC/(2RC) = 0.5。 这是等值等容的"天赋 Q"，接近但不是严格的 Bessel（0.577）。想只改电容比拿高 Q，用等值方案： C1 = 4Q²·C2（Butterworth 时 C1 = 2×C2，Q = √2/2 = 0.707）。
为什么增益 K > 3 会自激？
增益出现在阻尼项 R1C1(1−K) 里：K>1 时它是负的，抵消正阻尼 C2(R1+R2)。等值等容时阻尼 ∝ (3−K)， K≥3 时阻尼归零、Q 无意义，两个电容与运放构成正反馈回路而起振——这正是 Sallen-Key 振荡器的原理。 一般电路的阈值 K_crit = 1 + C2(R1+R2)/(R1C1)，工程上留 20% 以上余量。
fc 处的衰减一定是 −3dB 吗？
不是。fc 是特征频率，fc 处增益为 20·lg(K·Q)：只有 Butterworth（Q=0.707、K=1）才是 −3dB； Bessel 约 −4.8dB，Chebyshev（0.96）约 −0.35dB 且在更低频率处已出现峰值、−3dB 点前移。 "截止频率"的工程含义（−3dB 点）与特征频率只在 Q=0.707 时重合。
吸附后 Q 偏差太大怎么办？
标准方案优先：R1≠R2 时电阻连续档位（E24）能吸收电容档位的误差，本页在最近档 ±1 档共 9 组组合中择优。 若电容比落在两档之间（等值方案 Q 偏差 > ±5%），可两只电容并联凑 C1（如 15nF+4.7nF≈19.7nF）， 或直接改用标准方案让电阻去凑。
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